\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{cancel}
\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}
\begin{document}
\chead{SIGMA n°2C}
\lfoot{}
\cfoot{Bilan semestre 1}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction SIGMA n°2C}
\end{center}
\vspace{30pt}


\section*{Exercice 1 - Résoudre une équation}

{\bf Exercice 1A (cours)} \\
\begin{enumerate}
 \item On résout l'équation  pour $x \neq \dfrac{3}{2}$:
 \begin{align*}
 \dfrac{x+1}{2x-3} = 2 & \Longleftrightarrow x+1 = 4x - 6 \\
 & \Longleftrightarrow 3x = 7 \\
 & \Longleftrightarrow x = \dfrac{7}{3}
 \end{align*}
 L'ensemble des solutions est 
 \begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_1 = \left\{ \dfrac{7}{3} \right\}$.}
\end{center}
\item On peut résoudre l'équation $3x^2 - 4x +1 = 0$ en utilisant le discriminant $\Delta = 16 - 12 = 4$. Cette équation à donc deux solutions
$$
x_1 = \dfrac{4 - 2}{6}= \dfrac{1}{3} \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{4+2}{6} = 1
$$
 L'ensemble des solutions est \fbox{$\mathscr{S}_2 = \left\{ \dfrac{1}{3},1 \right\}$.}
 \end{enumerate}
 
{\bf Exercice 1B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item On résout l'équation en posant $X = x^2 \geq 0$, 
\begin{align*}
3x^4 - 4x^2 + 1 = 0 & \Longleftrightarrow 3X^2 - 4X +1 = 0 \quad \text{et} \quad X \geq 0 
\end{align*}
On utilise le discriminant $\Delta = 16 - 12 = 4$. Cette équation à donc deux solutions
$$
X_1 = \dfrac{4 - 2}{6}= \dfrac{1}{3} \quad \text{et} \quad X_2 = \dfrac{4+2}{6} = 1
$$
On a donc 4 solutions possibles 
 \begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_1 = \left\{ -1 ; -\sqrt{\dfrac{1}{3}} ;\sqrt{\dfrac{1}{3}} ; 1 \right\}$.}
\end{center}

\item On résout l'équation 
\begin{align*}
x e^{2x-5} = x & \Longleftrightarrow x e^{2x-5} - x = 0 \\
& \Longleftrightarrow x (e^{2x-5} - 1) = 0  \\
& \Longleftrightarrow x = 0 \quad \text{ou} \quad e^{2x-5} - 1 = 0 \\
& \Longleftrightarrow x = 0 \quad \text{ou} \quad e^{2x-5} = 1  \\
& \Longleftrightarrow x = 0 \quad \text{ou} \quad 2x - 5 = 0 \\
& \Longleftrightarrow x = 0 \quad \text{ou} \quad x = \dfrac{5}{2}
\end{align*}
L'ensemble des solutions est \fbox{$\mathscr{S}_2 = \left\{ 0 ; \dfrac{5}{2} \right\}$.}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Tracer des courbes}

{\bf Exercice 2A (cours)} \\
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{Sigma2C_2a.png}
\end{center}

{\bf Exercice 2B (Application)} \\
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{Sigma2C_2b.png}
\end{center}
  

\section*{Exercice 3 - Déterminer le domaine de définition d'une fonction}

{\bf Exercice 3A (cours)} \\
\begin{enumerate}
\item On résout l'équation $x^2 - 4x = 0$: 
\begin{align*}
x^2 - 4x = 0 &  \Longleftrightarrow x(x-4) = 0 \\
& \Longleftrightarrow x = 0 \quad \text{et} \quad x = 4
\end{align*}
On en déduit que
\begin{center}
\fbox{L'ensemble de définition de $f$ est $D_f = \R \setminus \{ 0; 4 \}$}
\end{center}

\item On résout l'équation $x^2 -9 \geq 0 \Longleftrightarrow (x-3)(x+3) \geq 0$. A l'aide d'un tableau de signe, on conclut que
\begin{center}
\fbox{L'ensemble de définition de $g$ est $D_g = ]- \infty ; -3] \cup [3; +\infty[ $}
\end{center}

\item On résout l'équation
\begin{align*}
x - 4 > 0 & \Longleftrightarrow x > 4 
\end{align*}
Donc 
\begin{center}
\fbox{L'ensemble de définition de $h$ est $D_h = ]4 ; +\infty[ $}
\end{center}
\end{enumerate}

  
{\bf Exercice 3B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item Afin de déterminer le domaine de définition de $f$, on résout 
$x - 2 > 0 \Longleftrightarrow x > 2$ et on résout $\ln(x-2)= 0 \Longleftrightarrow x-2 = 1 \Longleftrightarrow x = 3$. Donc la fonction $f$ est définie sur 
\begin{center}
\fbox{$\mathcal{D}_f = ]2 , 3[ \cup ]3 , + \infty[$.}
\end{center}

\item La fonction $\ln$ est définie sur $\R_+^*$ et la fonction $x \to \sqrt{x}$ est définie sur $\R_+$. On résout donc $x^2 -4 \geq 0 \Longleftrightarrow (x-2)(x+2) \geq 0$. A l'aide d'un tableau de signe, on conclut que les solutions de cette inéquation est $]- \infty ; -2] \cup [2;+\infty[$
\begin{center}
\fbox{L'ensemble de définition de $g$ est $D_g = [2; +\infty[ $}
\end{center}

\item On résout l'équation
\begin{align*}
\dfrac{x^2 +3}{e^x -1 }> 0  
\end{align*}
Le numérateur est toujours positif, on résout donc $e^x - 1 > 0 \Longleftrightarrow e^x > 1 \Longleftrightarrow x > 0$
Donc 
\begin{center}
\fbox{L'ensemble de définition de $h$ est $D_h = \R_+^* $}
\end{center}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 - Manipuler des valeurs absolues}

{\bf Exercice 4A (cours)} \\
\begin{enumerate}
\item On résout l'équation 
\begin{align*}
|x+2| = 3 & \Longleftrightarrow x+2 = 3 \quad \text{ou} \quad x+2 = -3 \\
& \Longleftrightarrow x = 1 \quad \text{ou} \quad x = -5
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1  = \{ -5 ; 1 \}$.}
\end{center}
\item On résout l'équation $x+1 \geq 0 \Longleftrightarrow x \geq -1$ et $2-2x \geq 0 \Longleftrightarrow x \leq 1$. On a donc 3 cas: 
\begin{enumerate}
\item {\bf Cas où $x < -1$ :} L'équation s'écrit alors 
\begin{align*}
|x +1| - |2 - 2x| =  2 & \Longleftrightarrow -(x+1) - (2-2x) = 2 \\
 & \Longleftrightarrow x - 3 = 2 \\
 & \Longleftrightarrow x = 5
\end{align*}

Or $5 > -1$, donc cette équation n'a aucune solution sur cet intervalle. 

\item {\bf Cas où $-1 \leq x < 1$ :} L'équation s'écrit alors 
\begin{align*}
|x +1| - |2 - 2x| =  2 & \Longleftrightarrow (x+1) - (2-2x) = 2 \\
 & \Longleftrightarrow 3x - 1 = 2 \\
 & \Longleftrightarrow 3x = 3 \\
 & \Longleftrightarrow x =  1
\end{align*}
Or $1 \geq 1$, donc cette équation n'a aucune solution sur cet intervalle. 

\item {\bf Cas où $1 \leq x $ :} L'équation s'écrit alors 
\begin{align*}
|x +1| - |2 - 2x| =  2 & \Longleftrightarrow x+1 + (2-2x) = 2 \\
 & \Longleftrightarrow -x  +3 = 2 \\
 & \Longleftrightarrow x = 1
\end{align*}
Il y a alors une solution sur $[1 ; +\infty[$ : $x = 1$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\fbox{Au final l'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = \left\{ 1 \right\}$.}
\end{center}

\item D'après le cours, une valeur absolue est toujours positive donc 
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_3 = \R[$.}
\end{center}
\end{enumerate}

{\bf Exercice 4B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item D'après le cours, une valeur absolue est toujours positive donc 
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = \R[$.}
\end{center}


\item  Afin de voir quels sont les cas possibles, on utilise le tableau de signe suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,Signe de $x+2$/1,Signe de $3x-1$/1}{$-\infty$,$-2$,$\frac13$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,} 
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,} 
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item {\bf 1er Cas:  $x <-2$.} Dans ce cas, les 2 quantités dans les valeurs absolues sont négatives. Donc 
\begin{eqnarray*}
|3x - 1| < |x+2| & \Leftrightarrow & -(3x - 1) < -(x+2) \\
& \Leftrightarrow & -3x + 1  <  -x - 2 \\
& \Leftrightarrow & 3 < 2x \\
& \Leftrightarrow & \dfrac{3}{2} < x
\end{eqnarray*}
On en déduit qu'il n'y a aucune solutions sur cet intervalle. 
\vspace{5pt}
\item {\bf 2nd Cas:  $-2\leq x < \dfrac{1}{3}$.} Dans ce cas,  
\begin{eqnarray*}
|3x - 1| < |x+2| & \Leftrightarrow & -(3x - 1) < x+2 \\
& \Leftrightarrow &  -3x +1  < x +2 \\
& \Leftrightarrow & -1 < 4x \\
& \Leftrightarrow & x > -\frac{1}{4} \\
\end{eqnarray*}
On en déduit que l'intervalle, $\left] -\dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{3} \right]$ est solution. 
\vspace{5pt}
\item {\bf 3ème Cas:  $x \geq \dfrac{1}{3}$.} Dans ce cas, les 2 quantités dans les valeurs absolues sont positives. Donc 
\begin{eqnarray*}
|3x - 1| < |x+2|  & \Leftrightarrow & (3x - 1) < (x+2) \\
& \Leftrightarrow & 2x < 3 \\
& \Leftrightarrow & x < \dfrac{3}{2} 
\end{eqnarray*}
On en déduit que l'intervalle,  $\left[ \dfrac{1}{3} ; \dfrac{3}{2} \right[$ est solution. 
\end{enumerate}
\begin{center}
\fbox{En conclusion, l'ensemble des solutions est $ \left] - \dfrac{1}{4} ; \dfrac{3}{2} \right[$ }
\end{center}

\item On résout l'équation $|x^2 - 1| - |2x-4| = 0$. 
Afin de voir quels sont les cas possibles, on utilise le tableau de signe suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,Signe de $x^2-1$/1,Signe de $2x - 4$/1}{$-\infty$,$-1$,$1$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,t,+,} 
\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,+,} 
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \uline{\bf 1er Cas:  $x \in ]-\infty ; -1] \cup [1,2]$.} On s'aperçoit que dans ces deux cas, $x^2 - 9$ est positif et $2x-6$ est négatif. Donc 
\begin{eqnarray*}
|x^2 - 1| - |2x-4| = 0 & \Leftrightarrow & (x^2 - 1) + (2x-4) = 0 \\
& \Leftrightarrow & x^2 -1 + 2x -4 = 0 \\
& \Leftrightarrow & x^2 + 2x -5 = 0 
\end{eqnarray*}
Le discriminant lié à cette équation du second degré est $ \Delta = 4 -4 \times 1 \times (-5) = 24$. Les deux solutions sont alors $x_1 = \dfrac{- 2 - 2\sqrt{6}}{2}= -1 - \sqrt{6} $ et $x_2 = \dfrac{- 2+ 2\sqrt{6}}{2} = -1 + \sqrt{6}$. On a évidemment $x_1 < -1$ et de plus
\begin{align*}
2 < \sqrt{6} < 3 & \Longleftrightarrow 1 < -1 +  \sqrt{6} < 2 
\end{align*}

On en déduit que sur ces intervalles , \fbox{l'équation a deux solutions $- 1 - \sqrt{6}$ et $-1 + \sqrt{6}$. }
\vspace{5pt}
\item \uline{\bf 2nd Cas:  $-1 \leq x \leq 1$.} Dans ce cas, les deux quantités sont négatives. 
\begin{eqnarray*}
|x^2 - 1| - |2x-4| = 0 & \Leftrightarrow & -(x^2 - 1) + (2x-4) = 0 \\
& \Leftrightarrow & - x^2 + 1 + 2x - 4 = 0 \\
& \Leftrightarrow & - x^2 + 2x - 3 = 0
\end{eqnarray*}
Le discriminant de cette équation est $\Delta = 4 - 4 \times (-1) \times (-3) = -8$. Cette équation n'a pas de solutions sur $\R$. On en déduit que sur cet intervalle, \fbox{l'équation n'a aucune solution. }

\item \uline{\bf 4ème Cas:  $2 < x $.} Dans ce cas, les deux quantités sont positives. 
\begin{eqnarray*}
|x^2 - 1| - |2x-4| = 0 & \Leftrightarrow & (x^2 - 1) - (2x-4) = 0 \\
& \Leftrightarrow & x^2 - 1 - 2x + 4 = 0 \\
& \Leftrightarrow & x^2 - 2x + 3 = 0 
\end{eqnarray*}
Le discriminant de cette équation est $\Delta = 4 - 4 \times 1 \times 3 = -8$
On en déduit que sur cet intervalle, \fbox{l'équation n'a aucune solutions }

\begin{center}
\fbox{En conclusion, l'ensemble des solutions de l'équation est $ \mathcal{S}_3 = \{ -1 - \sqrt{6} ; -1 + \sqrt{6} \}$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 5 - Déterminer la formulation explicite des suites classiques.}

{\bf Exercice 5A (cours)} \\
\begin{enumerate}
\item Soit $(u_n)_{n \in \N}$ la suite définie par $u_0 = -1$ et $\forall n \in \N, \; u_{n+1} = 3 u_n - 6$. On reconnait une suite arithmético-géométrique. On résout l'équation $x = 3x - 6$
$$
x = 3x - 6 \Longleftrightarrow 2x = 6 \Longleftrightarrow x = 3
$$
On pose alors la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - 3$. On vérifie que la suite $(v_n)$ est géométrique. En effet
\begin{align*}
v_{n+1} & = u_{n+1} - 3 \\
& = 3u_{n} - 6 - 3 \\
& = 3(u_n - 3) \\
& = 3 v_n
\end{align*}
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison 3. De plus $v_0 = u_0 - 3 = -4$. Nous avons donc pour tout $n \in \N$, $v_n = -4 \times 3^n$. On en déduit donc que
\begin{center}
\fbox{$\forall n \in \N, \quad u_n = -4 \times 3^n + 3$.}
\end{center}

\item $(v_n)_{n \in \N}$ la suite définie par $v_0 = 1$, $v_1 = 2$ et $\forall n \in \N, \; v_{n+1} = 4 v_{n} - 3v_{n-1}$. On reconnait une suite récurrente linéaire d'ordre 2. On résout l'équation
$$
x^2 = 4x - 3 \Longleftrightarrow  x^2 - 4x + 3 = 0
$$
Le discriminant de cette équation est $\Delta  = 16 - 12 = 4$. Les solutions de ces équations sont 
$$
x_1 = \dfrac{4 - 2}{2} = 1, \qquad x_2 = \dfrac{4+2}{2} = 3
$$ 
Cette équation ayant deux solutions, la suite s'écrit explicitement
$$
v_n = \alpha \times 1^n  + \beta \times 3^n
$$
En s'aidant des valeurs de $v_0$ et de $v_1$, on en déduit le système suivant 
\begin{align*}
\begin{cases}
\alpha + \beta & = 1 \\
\alpha + 3 \beta & = 2 
\end{cases}
& \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
\alpha + \beta & = 1 \\
2 \beta & = 1  \qquad L_2 - L_1 \to L_2 
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow \begin{cases}
\alpha & = \dfrac{1}{2} \\
\beta & = \dfrac{1}{2}  
\end{cases}
\end{align*}
On conclut que 
\begin{center}
 \fbox{$ \forall n \in \N, \quad v_n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3^n}{2}$.}
 \end{center} 
\end{enumerate}

{\bf Exercice 5B (Application)} \\
Soit $(u_n)_{n \in \N}$ la suite définie par 
$$
\left\lbrace \begin{array}{ccl}
u_1 &=& 1 \\
u_{n+1} & = & 4u_n + 5^n, \quad \forall n \in \N
\end{array}
\right. $$ 
 Pour étudier cette suite, on introduit la suite auxiliaire $v_n = \dfrac{u_n}{5^n}$ pour tout $n \geq 0$.
On considère pour $n \in \N$, 
 \begin{align*}
 v_{n+1} & = \dfrac{u_{n+1}}{5^{n+1}} \\
 & = \dfrac{4u_n + 5^n}{5^{n+1}} \\
 & = \dfrac{4}{5^{n+1}} u_n + \dfrac{5^n}{5^{n+1}} \\
 & = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{u_n}{5^n} + \dfrac{1}{5} \\
 & = \dfrac{4}{5} v_n + \dfrac{1}{5}
 \end{align*}
 La suite $(v_n)_{n \in \N}$ est donc arithmético-géométrique. On note que $v_0 = \dfrac{1}{5}$ On résout alors l'équation 
 \begin{align*}
 x= \frac{4}{5}x + \frac{1}{5} & \Longleftrightarrow \frac{1}{5} x = \frac{1}{5} \\
 & \Longleftrightarrow x = 1
 \end{align*}
On pose alors pour tout $n \in \N$, la suite $w_n = v_n - 1$. Ainsi pour tout $n \in \N$,
\begin{align*}
w_{n+1} & = v_{n+1} - 1 \\
& = \frac{4}{5} v_n + \frac{1}{5} - 1 \\
& = \frac{4}{5} v_n - \dfrac{4}{5} \\
& = \frac{4}{5}(v_n - 1) \\
& = \frac{4}{5} w_n
\end{align*}
La suite $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{4}{5}$ et de premier terme $w_0 = \dfrac{1}{5} - 1 = - \dfrac{4}{5}$. On a alors 
$$
w_n = - \dfrac{4}{5} \left( \dfrac{4}{5} \right)^{n-1} 
$$
On a alors pour tout $n \in \N$,
$$
v_n = w_n + 1 = 1 - \left( \dfrac{4}{5} \right)^{n} 
$$
et finalement pour tout $n \in \N$,
\begin{center}
\fbox{$ u_n = 5^n v_n = 5^n \left(1 - \left( \dfrac{4}{5} \right)^n \right) = 5^n - 4^n $}
\end{center}

\section*{Exercice 6 - Exprimer des évènements en fonction d'intersection, d'union et du complémentaire.}

{\bf Exercice 6A (cours)} \\
Une urne contient 6 boules noires et 4 boules vertes. On tire 4 boules sans remises dans cette urne. 
Soit $A_i$ l\textquoteright{}évènement \emph{''On obtient une boule verte au $i^{\`eme}$ tirage''} pour $i \in \entier{1,4}$. 
On exprime les évènements suivants en fonction des $A_i$ :
\begin{enumerate}
\item $B_1$ : "On obtient la première boule verte au premier tirage"
\begin{center}
\fbox{$B_1 = A_1$}
\end{center}
\item $B_2$ : "On obtient la première boule verte au second tirage"
\begin{center}
\fbox{$B_2 = \overline{A_1} \cap A_2$}
\end{center}
\item $B_4$ : "On obtient la première boule verte au quatrième tirage"
\begin{center}
\fbox{$B_4 = \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3} \cap A_4$}
\end{center}
\end{enumerate}
On exprime les évènements $C_i$ en fonction des $A_j$ puis en fonction des $B_j$
\begin{enumerate}
\item $C_4$ : "On obtient 4 boules vertes"
\begin{center}
\fbox{$C_4 = A_1 \cap A_2 \Cap A_3 \cap A_4 = B_1 \cap B_2 \cap B_3 \cap B_4$}
\end{center}
\item $C_1$ : "On obtient une seule boule verte"
\begin{center}
\fbox{$C_1 = \left(A_1 \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3} \cap \overline{A_4}\right) \cup \left(\overline{A_1} \cap A_2 \cap \overline{A_3} \cap \overline{A_4}\right) \cup \left(\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap A_3  \cap \overline{A_4}\right) \cup \left(\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3}  \cap A_4 \right)$}
\end{center}
ou bien 
\begin{center}
\fbox{$C_1 = B_1 \cup B_2 \cup B_3 \cup B_4$}
\end{center}
\item $C_0$ : "On n'obtient aucune boule verte"
\begin{center}
\fbox{$C_0 = \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3} \cap \overline{A_4} = \overline{B_1} \cap \overline{B_2} \cap \overline{B_3} \cap \overline{B_4}$}
\end{center}
\end{enumerate}

{\bf Exercice 6B (Application)} \\
On lance $n$ fois un dé à 6 faces et on note $A_i$ l'évènement, "on obtient un 6 au ième tirage".   Exprimez les évènements suivants en fonction des $A_i$ :
\begin{enumerate}
\item $B_1$ : "On obtient le premier 6 au premier tirage."
\begin{center}
\fbox{$B_1 = A_1$}
\end{center}
\item $B_2$ : "On obtient le premier 6 au second tirage."
\begin{center}
\fbox{$B_2 = \overline{A_1} \cap A_2$}
\end{center}
\item Pour tout $k \in \entier{3,n}$, $B_k$ : "On obtient le premier 6 au $k$-ème tirage."
\begin{center}
\fbox{$B_k = \overline{A_1} \cap \ldots \cap \overline{A_{k-1}} \cap A_k$.}
\end{center}
\item $C$ : "On n'obtient que des 6 ".
\begin{center}
\fbox{$C = \ds \bigcap_{i=1}^n A_i$}
\end{center}
\item $D$ : "On obtient au moins un 6".
\begin{center}
\fbox{$D = \ds \bigcup_{i=1}^n A_i$}
\end{center}
\item $E$ : "On n'obtient aucun 6".
\begin{center}
\fbox{$E = \ds \bigcap_{i=1}^n \overline{A_i}$}
\end{center}
\item $F$ : "On obtient le second 6 au troisième tirage".
\begin{center}
\fbox{$F = \left( A_1 \cap \overline{A_2} \cap A_3 \right) \cup \overline{A_1} \cap A_2 \cap A_3$}
\end{center}
\item $G$ : "On obtient le second 6 au $k$-ième tirage".
\begin{center}
\fbox{$G = \ds \bigcup_{i=1}^{k-1} \overline{A_1} \cap \ldots \cap \overline{A_{i-1}} \cap A_i \cap \overline{A_{i+1}} \cap \ldots \overline{A_{k-1}} \cap A_k $}
\end{center}
\end{enumerate}


\section*{Exercice 7 - Déterminer la probabilité d'une union finie.}

On a dix cartes numérotés de 1 à 4.  On tire successivement 3 cartes avec remise dans cette urne on note les évènements $A_i$ : " Tirer la carte \no 1 au $i^{\`eme}$ tirage". On définit enfin les évènements $B_i$ : "On obtient au moins une carte \no 1 lors des $i$ premiers tirages".  On a $B_1 = A_1$ donc 
\begin{center}
\fbox{$P(B_1) = P(A_1) = \dfrac{1}{4}$. }
\end{center}
On a $B_2 = A_1 \cup A_2$. Les évènements $A_1$ et $A_2$ ne sont pas disjoints (mais ils sont indépendants) donc on utilise le crible de Poincaré :
\begin{align*}
P(B_2) & = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2) \\
 	   & = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} \\
 	   & \boxed{= \dfrac{7}{16}}
\end{align*}

Enfin, $B_3 = A_1 \cup A_2 \cup A_3$. Les évènements $A_1$, $A_2$ et $A_3$ ne sont pas disjoints (mais ils sont indépendants) donc on utilise le crible de Poincaré :
\begin{align*}
P(B_3) & = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_1 \cap A_2) - P(A_2 \cap A_3) - P(A_1 \cap A_3) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) \\
 	   & = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} \\
 	   & = \dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{16} + \dfrac{1}{64} \\
 	   & \boxed{= \dfrac{37}{64}}
\end{align*}

{\bf Exercice 7B (Application)} \\
On considère l'expérience aléatoire consistant à effectuer $n$ lancers d'une pièce non truquée. 
\begin{enumerate}
\item Afin de calculer la probabilité de l'évènement $C$, on introduit les évènements $A_k$ : "On obtient pile au $k^{\`eme}$ tirage". Alors on a $C = (A_1 \cap A_n)$. En appliquant les formules du cours (on rappelle que les évènements $A_1$ et $A_n$ sont indépendants, 
\begin{align*}
P(C) & = P (A_1 \cap A_n)  \\
	 & = P(A_1) \times P(A_n) \\
	 & = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \\
	 & \boxed{= \dfrac{1}{4}}
\end{align*}

\item On considère les évènements $D$: "Les tirages $1$ et $2$ amènent chacun un pile", $E$: "Les tirages $2$ et $3$ amènent chacun un pile" et $F$: "Les tirages $3$ et $4$ amènent chacun un face". On utilise alors le crible de Poincaré sachant que 
\begin{align*}
P(D) & = P(A_1 \cap A_2) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \\
P(E) & = P(A_2 \cap A_3) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \\
P(F) & =  P(\overline{A_3} \cap \overline{A_4}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \\
P(D \cap E) & = P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8} \\
P(D \cap F) & = P(A_1 \cap A_2 \cap \overline{A_3} \cap \overline{A_4}) = \dfrac{1}{16}
\end{align*}
Enfin $P(E \cap F)  = P(A_2 \cap A_3 \cap \overline{A_3} \cap \overline{A_4}) = 0$ et de même $P(D \cap E \cap F) = P(D\cap E) = 0$.
On a alors d'après le crible de Poincaré,
\begin{align*}
P(D \cup E \cup F) & = P(D) + P(E) + P(F) - P(D \cap E) - P(D\cap F) - P(E \cap F) + P(D \cap E \cap F) \\
				   & = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{16} - 0 + 0 \\
				   & \boxed{= \dfrac{9}{16} }
\end{align*} 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 8 - Utiliser la formule des probabilités totales. }

{\bf Exercice 8A (cours)} \\
En 2020, $75 \%$ des Français de plus de 18 ans ont regardé des vidéos Youtube. Une entreprise, pour sa nouvelle marque "ECEOne" décide de procéder à une stratégie publicitaire sur Youtube. $75 \%$ des utilisateurs de Youtube entendent parler de "ECEOne". $10 \%$ des personnes n'utilisant pas Youtube ont tout de même entendu parler de cette nouvelle marque (Le fameux bouche à oreille). On interroge au hasard un français majeur. 
\begin{enumerate}
\item On introduit les évènements $Y$ : "Le Français interrogé est un utilisateur de Youtube" et $E$ : "Le Français interrogé a entendu parler de la marque "ECEOne"". On cherche alors la probabilité (donnée dans l'énoncé) 
\begin{center}
\fbox{$P_Y (E) = \dfrac{3}{4}$.}
\end{center}
\item On cherche la probabilité $P(Y \cap E)$. En utilisant la formule des probabilité composée 
\begin{center}
\fbox{$P(Y \cap E) = P(Y) \times P_Y(E) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{16}$.}
\end{center}
\item Les évènements $(Y,\overline{Y})$ forment un système complet d'évènement, donc en utilisant la formule des probabilités totales,
\begin{align*}
P(E) & =  P(Y) \times P_Y(E) +  P(\overline{Y}) \times P{\overline{Y}}(E) \\
	 & = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{10} \\
	 & = \dfrac{45}{80} + \dfrac{2}{80} \\
	 & \boxed{= \dfrac{47}{80}}
\end{align*}
\item On sait maintenant que l'utilisateur a entendu parler de la marque "ECEOne". On cherche $P_E(Y)$. En utilisant la formule de Bayes
\begin{align*}
P_E(Y) & = \dfrac{P(E \cap Y)}{P(E)} \\
	   & = \dfrac{\dfrac{9}{16}}{\dfrac{47}{80}} \\
	   & = \dfrac{9 \times 5 \times 16}{47 \times 16} \\
	   & \boxed{= \dfrac{45}{47}}
\end{align*} 
\end{enumerate}

{\bf Exercice 8B (Application)} \\
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. 
\begin{itemize}
\item Si l'on tire un carreau, on lance un dé à 4 faces. 
\item Si l'on tire un coeur, on lance un dé à 6 faces. 
\item Si l'on tire un trèfle, on lance un dé à 10 faces. 
\item Si l'on tire un pique, on lance un dé à 12 faces. 
\end{itemize}
On note les évènements $Ca,Co,Tr,Pi$ les évènements obtenir un carreau, un c\oe{}ur, un trèfle ou un pique (respectivement). On note pour $j \in \entier{1,12}$, l'évènement $A_j$ " Obtenir $j$ sur le dé lancé. 
\begin{enumerate}
\item Les évènements $(Ca,Co,Tr,Pi)$ forment un système complet d'évènements donc on utilise la formule des probabilités totales : 
\begin{align*}
P(A_1) & = P(Ca) P_{Ca}(A_1) + P(Co) P_{Co}(A_1) +P(Tr)P_{Tr}(A_1) + P(Pi)P_{Pi}(A_1) \\
& = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{12} \\
& = \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{40} + \dfrac{1}{48} \\
& = \dfrac{15}{240} + \dfrac{10}{240} + \dfrac{6}{240} + \dfrac{5}{240} \\
& = \dfrac{36}{240} \\
& = \dfrac{3 \times 3 \times 4}{4 \times 3 \times 20} \\
& \boxed{= \dfrac{3}{20}}
\end{align*}
\item De la même façon, 
\begin{align*}
P(A_8) & = P(Ca) P_{Ca}(A_8) + P(Co) P_{Co}(A_8) +P(Tr)P_{Tr}(A_8) + P(Pi)P_{Pi}(A_8) \\
& = \dfrac{1}{4} \times 0 + \dfrac{1}{4} \times 0 + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{12} \\
& =  \dfrac{1}{40} + \dfrac{1}{48} \\
& =  \dfrac{6}{240} + \dfrac{5}{240} \\
& \boxed{= \dfrac{11}{240} }
\end{align*}
\item Si l'on tire un carreau, on lance un dé à 4 faces. Cet évènement est impossible et donc 
\begin{center}
\fbox{$P_{A_8}(Ca) = 0$}
\end{center}
\item On utilise la formule de Bayes pour calculer $P_{A_1}(Ca)$ :
\begin{align*}
P_{A_1}(Ca) & = \dfrac{P(Ca)P_{Ca}(A_1)}{P(A_1)} \\
& = \dfrac{\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{4}}{\dfrac{3}{20}} \\
& = \dfrac{4 \times 5}{4 \times 4 \times 3} \\
& \boxed{= \dfrac{5}{12}}
\end{align*}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 9 - Manipuler une inégalité mettant en jeu une somme.}

{\bf Exercice 9A (cours)} \\
\begin{enumerate}
\item Soit $x \geq 0$. On a l'équivalence $\sqrt{1+x} \leq 1 + \dfrac{1}{2} x \Longleftrightarrow 1+x \leq \left(1 + \dfrac{x}{2} \right)^2$ (car $x+1 \geq 0$ et $1+x/2 \geq 0$). On a alors 
\begin{align*}
\sqrt{1+x} \leq 1 + \dfrac{1}{2} x  & \Longleftrightarrow 1+x \leq 1+ x + \dfrac{x^2}{4} \\
& \Longleftrightarrow 0 \leq \dfrac{x^2}{4}
\end{align*}
Or cette dernière inégalité est vraie pour tout $x \in [0;+\infty[$.  
\begin{center}
\fbox{En conclusion, $\forall x \geq 0, \; \sqrt{x+1} \leq 1 + \dfrac{1}{2}x$.  }
\end{center}
\item On a alors 
\begin{align*}
\forall k \in \N, \quad & \sqrt{k+1} \leq 1 + \dfrac{k}{2} \\
\Longrightarrow \; & \sum_{k=0}^n \sqrt{k+1} \leq \sum_{k=0}^n 1 + \dfrac{k}{2} \\
& \sum_{k=0}^n \sqrt{k+1} \leq \sum_{k=0}^n 1 + \dfrac{1}{2}\sum_{k=0}^{n} k \\
& \sum_{k=0}^n \sqrt{k+1} \leq n+1 + \dfrac{n(n+1)}{4}\\
\Longrightarrow \; & \boxed{\sum_{k=0}^n \sqrt{k+1} \leq \dfrac{(n+4)(n+1)}{4}}
\end{align*}
\end{enumerate}


\newpage
{\bf Exercice 9B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item On a 
$$
\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{x(x-1)} - \dfrac{x-1}{x(x-1)} = \dfrac{1}{x^2 - x}
$$
Or pour tout $x \geq 2$, on a $x^2  \geq x^2 - x$ et donc $\dfrac{1}{x^2 } \leq \dfrac{1}{x^2 - x}$. On conclut
\begin{center}
 \fbox{$ \dfrac{1}{x^2} \leq \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x}$}
 \end{center} 
\item On en déduit 
\begin{align*}
 \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2} & = 1 + \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2} \\
 & \leq 1 + \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k} 
\end{align*}
On reconnait une somme télescopique donc 
$$
\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k}  = \dfrac{1}{2-1} - \dfrac{1}{n} = 1 - \dfrac{1}{n}
$$
Finalement,
\begin{center}
\fbox{$ \ds \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}  \leq 2 - \dfrac{1}{n}$.}
\end{center}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 10 - Calculer des limites avec indétermination.}

{\bf Exercice 10A (cours)} \\
\begin{enumerate}
\item En factorisant par le terme de plus haut degré, on a 
\begin{align*}
\li_{x\to +\infty} -x^4 + 3x^2 -x & = \li_{x \to +\infty} -x^4 \left( 1 - \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{1}{x^3} \right) \\
& \boxed{= - \infty}
\end{align*}
\item En appliquant les croissances comparées, on a
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to + \infty} \dfrac{x^4}{(\ln(x))^5} = + \infty$}
\end{center}
\item En factorisant au numérateur et au dénominateur, on a 
\begin{align*}
\li_{x \to + \infty} \dfrac{x^4 - x^2 +5x}{2x^4 + x^3 - 3x +5} & = \li_{x \to + \infty} \dfrac{x^4 \left( 1 - \dfrac{x^2}{x^4} + 5 \dfrac{x}{x^4} \right)}{2x^4 \left(1 + \dfrac{x^3}{x^4} - \dfrac{3x}{x^4} + \dfrac{5}{x^4}\right)} \\
& = \li_{x \to + \infty} \dfrac{ 1 - \dfrac{1}{x^2} + 5 \dfrac{1}{x^3}}{2 \left(1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{x^3} + \dfrac{5}{x^4}\right)} \boxed{= \dfrac{1}{2}}
\end{align*}
\item D'après les formules de taux d'accroissements, on a 
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{10pt}
{\bf Exercice 10B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item On calcule 
\begin{align*}
\li_{x \to + \infty} \dfrac{e^{2x + 2}}{(\ln(x))^3} & = \li_{x \to + \infty} e^2 \dfrac{e^{2x}}{x} \times \dfrac{x}{(\ln(x))^3}
\end{align*}
Or d'après les croissances comparées, 
$$
\li_{x \to + \infty} \dfrac{e^{2x}}{x} = + \infty, \qquad \li_{x \to + \infty} \dfrac{x}{(\ln(x))^3} = + \infty
$$
Donc 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{x \to + \infty} \dfrac{e^{2x + 2}}{(\ln(x))^3} = + \infty
$}
\end{center}

\item En factorisant par $e^x$, on a 
\begin{align*}
\li_{x \to + \infty} e^x - x^3 +1 &= e^x \left(1 - \dfrac{x^3}{e^x} + \dfrac{1}{e^x} \right)
\end{align*}
Or $\li_{x \to +\infty} \dfrac{x^3}{e^x} = 0$ par croissances comparées. 
Donc 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{x \to + \infty} e^x - x^3 +1  = + \infty
$}
\end{center}

\item En passant par les quantités conjuguées, pour $x$ suffisamment grand, 
\begin{align*}
\sqrt{x-4} - \sqrt{x} & = \dfrac{(\sqrt{x-4} - \sqrt{x})(\sqrt{x-4} + \sqrt{x})}{\sqrt{x-4} + \sqrt{x}} \\
& = \dfrac{x-4 - x}{\sqrt{x-4} + \sqrt{x}} \\
& = \dfrac{-4}{\sqrt{x-4} + \sqrt{x}}
\end{align*}
Et $\li_{x \to + \infty} \sqrt{x-4} + \sqrt{x} = + \infty$ donc 
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to + \infty} \sqrt{x-4} - \sqrt{x} = 0$}
\end{center}

\item A l'aide du changement de variable $X = x^2$, on a 
$$
\li_{x \to + \infty} \dfrac{x^3}{e^{x^2}} = \li_{X \to + \infty} \dfrac{X^{3/2}}{e^X} 
$$
Donc, par croissance comparée, 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{x \to + \infty} \dfrac{x^3}{e^{x^2}} =  0
$}
\end{center}

\item En appliquant le changement de variable $X = e^x$, on a 
\begin{align*}
\li_{x \tos \ln(2)}\dfrac{e^{2x} -4}{e^{2x} - 4 e^{x} + 4} & = \li_{X \tos 2} \dfrac{X^2 - 4}{X^2 - 4X + 4} \\
& = \li_{X \tos 2} \dfrac{(X-2)(X+2)}{(X-2)^2} \\
& = \li_{X \tos 2} \dfrac{X+2}{X-2} \\
& \boxed{= + \infty}
\end{align*}

\item On a 
\begin{align*}
\li_{x \tos 0} \dfrac{\sqrt{x}}{e^{x} - 1} & = \li_{x \tos 0} \dfrac{1}{\sqrt{x}} \times \dfrac{x}{e^{x} - 1}
\end{align*}

Or $\li_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x} = 1$ par taux d'accroissement donc $\li_{x \to 0} \dfrac{x}{e^x - 1} = 1$. On a donc 
\begin{center}
\fbox{$\li_{x \tos 0} \dfrac{\sqrt{x}}{e^{x} - 1} = + \infty$}
\end{center}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 11 - Calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire}

{\bf Exercice 11A (cours)} \\
On considère une variable aléatoire $X$ dont la loi est donnée par le tableau suivant :
\begin{center}
\setlength{\tabcolsep}{10pt}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$k$ & -1 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
$P(X = k)$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{8}$  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item A l'aide de la formule sur l'espérance, on a 
\begin{align*}
E(X) & = -1 \times P(X=-1) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3) \\
& = - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{8} \\
& \boxed{= \dfrac{5}{4}}
\end{align*}
\item A l'aide de la formule de transfert, 
\begin{align*}
E(X^2) & = (-1)^2 \times P(X=-1) + 1^2 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2) + 3^2 \times P(X=3) \\
& = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2} + 1 + \dfrac{9}{8} \\
& \boxed{= \dfrac{11}{4}}
\end{align*}
Enfin, en appliquant la formule de Koenig-Huygens, 
\begin{align*}
V(X) & = E(X^2)- E(X)^2 \\
& = \dfrac{11}{4} - \dfrac{25}{16} \\
& \boxed{= \dfrac{19}{16}}
\end{align*}
\end{enumerate} 

\vspace{10pt}
{\bf Exercice 11B (Application)} \\
Un joueur participe au jeu suivant.
On lance 3 fois de suites une pièce de monnaie non truquée. Le joueur gagne j euros si la pièce donne pile pour la première fois au $j$ ème lancer. Si la pièce ne donne jamais pile, le joueur perd $1$ euros. On note $X$ la variable aléatoire représentant le gain du joueur. 
\begin{enumerate}
\item On détermine le support $X (\Omega) = \{-1,1,2,3\}$ On note pour $j \in \entier{1,4}$, l'évènement $A_j$: "Le j-ième lancer donne Pile". Les évènements $(A_j)$ sont mutuellement indépendants donc 
\begin{center}
\fbox{$P(X=1) = P(A_1) = \dfrac{1}{2}$}
\end{center}
De même, 
\begin{center}
\fbox{$P(X = 2) = P(\overline{A_1} \cap A_2) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{$P(X = 3) = P(\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap A_3) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$}
\end{center}
Enfin, pour $P(X=-1)$, on peut soit calculer 
$$
P(X=-1) = 1 - P(X=1) - P(X=2) -P(X=3) = \dfrac{1}{8}
$$
soit 
\begin{center}
\fbox{$P(X = -1) = P(\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3}) = \dfrac{1}{8}
$}
\end{center}
Le tableau de probabilité est donc
\begin{center}
\setlength{\tabcolsep}{10pt}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$k$ & -1 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
$P(X = k)$ & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{8}$  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item A l'aide de la formule sur l'espérance, on a 
\begin{align*}
E(X) & = -1 \times P(X=-1) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3) \\
& = - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{8} \\
& \boxed{= \dfrac{5}{4}}
\end{align*}
\item A l'aide de la formule de transfert, 
\begin{align*}
E(X^2) & = (-1)^2 \times P(X=-1) + 1^2 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2) + 3^2 \times P(X=3) \\
& = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2} + 1 + \dfrac{9}{8} \\
& \boxed{= \dfrac{7}{4}}
\end{align*}
Enfin, en appliquant la formule de Koenig-Huygens, 
\begin{align*}
V(X) & = E(X^2)- E(X)^2 \\
& = \dfrac{7}{4} - \dfrac{25}{16} \\
& \boxed{= \dfrac{3}{16}}
\end{align*} 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 12 - Inverser une matrice.}

{\bf Exercice 12A (cours)} \\
\begin{enumerate}
\item On utilise la méthode du pivot de Gauss
\begin{align*}
\begin{array}{c|cr}
 \begin{pmatrix}
4 & 1 \\
1 & -2 
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} & \\
& &  \\
\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
0 & 9 
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & -4
\end{pmatrix} & \begin{array}{c}
\\
L_1 - 4L_2 \to L_2 
\end{array} 
\end{array}
\end{align*}
La matrice $A$ est inversible car les pivots sont non nuls. 
\begin{align*}
\begin{array}{c|cr}
\begin{pmatrix}
36 & 0 \\
0 & 9 
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
8 & 4 \\
1 & -4
\end{pmatrix} & \begin{array}{c}
9L_1 - L_2 \to L_1  \\
.
\end{array} \\
& &  \\
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 
\end{pmatrix} & \dfrac{1}{9} \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & -4
\end{pmatrix} & \begin{array}{c}
(1/36) L_1  \to L_1  \\
(1/9) L_2  \to L_2
\end{array} \\
\end{array}
\end{align*} 
On obtient alors \begin{center}
\fbox{$A^{-1} = \dfrac{1}{9} \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & -4
\end{pmatrix}$.}
\end{center}
\item  On applique le pivot de Gauss :
\begin{align*}
\begin{array}{c|cr}
\begin{pmatrix}
{5} & {-2} & {8}\\
{1} & {-1} & {1}\\
{4} & {-5} & {3}
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank
\end{array} \\
& & \\
\begin{pmatrix}
{1} & {-1} & {1}\\
{5} & {-2} & {8}\\
{4} & {-5} & {3}
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank \\
L_1 \leftrightarrow L_2
\end{array} \\
& & \\
\begin{pmatrix}
{1} & {-1} & {1}\\
0 & {3} & {3}\\
{0} & {-1} & {-1}
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & -5 & 0 \\
0 & -4 & 1
\end{pmatrix}  & \begin{array}{r}
\blank \\
L_2 - 5L_1 \to L_2 \\
L_3 - 4L_1 \to L_3
\end{array} \\
 & & \\
\begin{pmatrix}
{1} & {-1} & {1}\\
0 & {0} & {0}\\
{0} & {0} & {0}
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & -5 & 0 \\
1 & -17 & 3
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank \\
\blank \\
L_2 + 3L_3 \to L_3
\end{array}
\end{array}
\end{align*}
La méthode de Gauss a fait apparaitre 3 pivot dont un est nul. \begin{center}
\fbox{La matrice $B$ n'est pas inversible. }
\end{center}
\end{enumerate}

{\bf Exercice 12B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item  On applique le pivot de Gauss :
\begin{align*}
\begin{array}{c|cr}
\begin{pmatrix}
{5} & {-2} & {8}\\
{1} & {-1} & {1}\\
{4} & {-5} & {3}
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank
\end{array} \\
& & \\
\begin{pmatrix}
{1} & {-1} & {1}\\
{5} & {-2} & {8}\\
{4} & {-5} & {3}
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank \\
L_1 \leftrightarrow L_2
\end{array} \\
& & \\
\begin{pmatrix}
{1} & {-1} & {1}\\
0 & {3} & {3}\\
{0} & {-1} & {-1}
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & -5 & 0 \\
0 & -4 & 1
\end{pmatrix}  & \begin{array}{r}
\blank \\
L_2 - 5L_1 \to L_2 \\
L_3 - 4L_1 \to L_3
\end{array} \\
 & & \\
\begin{pmatrix}
{1} & {-1} & {1}\\
0 & {0} & {0}\\
{0} & {0} & {0}
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & -5 & 0 \\
1 & -17 & 3
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank \\
\blank \\
L_2 + 3L_3 \to L_3
\end{array}
\end{array}
\end{align*}
La méthode de Gauss a fait apparaitre 3 pivot dont un est nul. \begin{center}
\fbox{La matrice $B$ n'est pas inversible. }
\end{center}
\item  On calcule l'inverse de la matrice $C=\left(\begin{array}{ccc}
{1} & {4} & {2}\\
{2} & {2} & {1}\\
{2} & {2} & {2}
\end{array}\right)$ à l'aide du pivot de Gauss :

\begin{align*}
\begin{array}{c|cr}
\begin{pmatrix}
{1} & {4} & {2}\\
{2} & {2} & {1}\\
{2} & {2} & {2}
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank
\end{array} \\
& & \\
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 2\\
0 & 6 & 3\\
0 & 6 & 2 
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & -1 & 0 \\
2 & 0 & -1
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank \\
2L_1 - L_2 \to L_2\\
2L_1 - L_3 \to L_3
\end{array} \\
 & & \\
\begin{pmatrix}
6 & 0 & 0\\
0 & 6 & 3\\
0 & 0 & 1 
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
-2 & 4 & 0 \\
2 & -1 & 0 \\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
6L_1 - 4L_2 \to L_1 \\
\blank \\
L_2 - L_3 \to L_3
\end{array} \\
 & & \\
\begin{pmatrix}
6 & 0 & 0\\
0 & 6 & 0\\
0 & 0 & 1 
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
-2 & 4 & 0 \\
2 & 2 & -3 \\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
 \\
L_2 - 3L_3 \to L_2\\
\blank
\end{array} \\
 & & \\
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} & \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}
-1/3 & 2/3 & 0 \\
1/3 & 1/3 & -1/2 \\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\frac{1}{6}L_1 \to L_1\\
\blank \\
\frac{1}{6}L_3 \to L_3 
\end{array}
\end{array}
\end{align*}

Les pivots étant tous non nuls, \begin{center}
\fbox{la matrice $C$ est inversible et $C^{-1}  = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}
-1/3 & 2/3 & 0 \\
1/3 & 1/3 & -1/2 \\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix}$.}
\end{center}
\end{enumerate}

 

\section*{Exercice 13 - Montrer qu'une fonction est continue en un point.}

{\bf Exercice 13A (cours)} \\
\begin{enumerate}
\item Pour cette première fonction, on a $f(0) = 1$. Or en appliquant les taux d'accroissement, 
$$
\li_{x \to 0} \dfrac{\ln(x+1)}{x} = 1 = f(0)
$$
\begin{center}
\fbox{La fonction $f$ est donc continue en $0$. }
\end{center}
\item Pour la seconde fonction, $g(0) = e^0-1 = 0$ On calcule 
$$
\li_{x \toi 0} g(x) = \li_{x \toi 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+1}} = 1
$$
et 
$$
\li_{x \tos 0} g(x) = \li_{x \tos 0} e^x - 1 = 0
$$
\end{enumerate}
La fonction $g$ n'est donc pas continue en $0$. 

{\bf Exercice 13B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item Pour cette première fonction, on a $f(0) = 0$. Et par croissances comparées, 
\begin{align*}
\li_{x \to 0} x^3 \ln(x^2) = \li_{x \to 0} 2x^3 \ln(x) = 0
\end{align*}
Donc, on a $\li_{x \to 0} f(x) = f(0)$. 
\begin{center}
\fbox{La fonction $f$ est continue en $0$. }
\end{center}

\item La fonction $g$ vérifie $g(0) = 1$. On calcule donc 
\begin{align*}
\li_{x \toi 0} g(x) & =\li_{x \toi 0} \dfrac{x^3 + x^2 - x}{x^2 - x} \\
& = \li_{x \toi 0} \dfrac{x(x^2 + x - 1)}{x(x-1)} \\
& = \li_{x \toi 0} \dfrac{x^2 +x -1}{x-1} \\
& \boxed{= 1}
\end{align*}
On a également, en posant $X = \dfrac{1}{x}$  
\begin{align*}
\li_{x \tos 0} \dfrac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} & = \li_{X \to +\infty} X^2e^{-X} \\
& = 0
\end{align*}
par croissance comparée. 
\begin{center}
\fbox{Donc La fonction n'est pas continue en $0$. }
\end{center}

\item On a pour tout $x \in ]-1 ; 0[ \cup ]0;+\infty[$, 
\begin{align*}
\dfrac{x - \ln(x+1)}{\ln(x+1)} = \dfrac{x}{\ln(x+1)} - 1
\end{align*}
Or $\li_{x \to 0} \dfrac{\ln(x+1)}{x} = 1$ par taux d'accroissement donc $\li_{x \to 0} \dfrac{x}{\ln(x+1)} = 1$ donc 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{x \to 0} g(x) = \li_{x \to 0}  \dfrac{x - \ln(x+1)}{\ln(x+1)} = 0
$
}
\end{center}
\end{enumerate}
Donc la fonction \begin{center}
\fbox{$h$ est prolongeable par continuité en 0 et on pourrait poser $h(0) = 0$. }
\end{center}


\section*{Exercice 14 - \'Ecrire un script qui utilise une instruction conditionnelle.}

{\bf Exercice 14A (cours)} \\
\'Ecrire un script Scilab qui demande à l'utilisateur le nombre d'heures de Scilab travaillée pendant les vacances et qui affiche le message "beau travail" si le nombre d'heures travaillés est supérieur ou égal à 3 heures et le message "C'est insuffisant !" sinon.
\begin{verbatim}
h = input("Entrez le nombre d'heure de travail sur Scilab pendant les vacances")
if h >=3 then
    disp("Beau travail")
else 
    disp("C''est insuffisant")
end
\end{verbatim}


{\bf Exercice 14B (Application)} \\
\'Ecrire un Script Scilab qui :
\begin{itemize}
\item Demande à l'utilisateur d'entrer 3 nombres $a$, $b$ et $c$. 
\item Calcule la ou les solutions de $ax^2 + bx + c = 0$. (On fera des disjonctions de cas appropriés selon les valeurs de $a$, $b$ et $c$). 
\item Affiche la ou les solutions ou affiche un message d'erreur s'il n'y a aucunes solutions. 
\end{itemize} 

\begin{verbatim}
a = input("Entrez un nombre a: ")
b = input("Entrez un nombre b: ")
c = input("Entrez un nombre c: ")
delta = b^2 - 4*a*c

if a == 0 then 
    if b == 0 then
        if c==0 then 
            disp("Il y a une infinité de solutions")
        else 
            disp("Il n'y a aucune solutions")
        end
    else
        x = -c/b
        disp("La seule solution est " +string(x))
    end
else 
    if delta > 0  then
        x1 = (-b - sqrt(delta))/(2*a)
        x2 = (-b + sqrt(delta))/(2*a)
        disp("Il y a deux solutions: " + string(x1) + " et " + string(x2))
    elseif delta == 0 then
        x = -b/(2*a)
        disp("Il y a une unique solution: " + string(x) + ".")  
    else
        disp("L''équation n''a aucune solutions")
end
\end{verbatim}

\section*{Exercice 15 - Calculer une somme (Scilab).}

{\bf Exercice 15A (cours)} \\
On considère la somme $\ds S = \sum_{k=0}^{95} ke^{-k^2}$ \'Ecrire un script Scilab qui calcule et affiche le résultat de la somme $S$. \\
\begin{verbatim}
S = 0
for k =0:95 
    S = S+k*exp(-k^2)
end
disp(S)
\end{verbatim}

{\bf Exercice 15B (Application)} \\
On considère la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n e^{-u_n}$ et la somme $S_n = \ds  \sum_{k = 0}^n u_k$. \'Ecrire un script Scilab qui demande à l'utilisateur d'entrer un nombre entier $n$ puis qui calcule et affiche $S_n$. 
\begin{verbatim}
n = input("Entrez un nombre entier n")
u = 1
S = u
for k = 1:n
    u = u * exp(-u)
    S = S + u 
end
disp(S)
\end{verbatim}

\section*{Exercice 16 -  Tracer le graphe représentatif d'une fonction (Scilab).}

{\bf Exercice 16A (cours)} \\
On considère la fonction $f : x \to \ln(x+1)- \sqrt{x}$. \'Ecrire une fonction Scilab modélisant la fonction $f$ puis écrire le code permettant de représenter la fonction $f$ sur l'intervalle $[0,5]$ (on prendra au minimum 5000 points pour tracer la fonction) \\
\begin{verbatim}
function y = f(x)
    y = log(x+1) - sqrt(x)
endfunction

x = linspace(0,5,5000)
plot(x,f)
\end{verbatim}

{\bf Exercice 16B (Application)} \\
On considère la fonction $f : \to \ln(x+1)- \sqrt{x}$ et on considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$, $u_1 = 3$ et $u_{n+2} = u_{n+1} + f(u_n)$. 
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire une fonction Scilab modélisant la fonction $f$.
\begin{verbatim}
function y = f(x)
    y = log(x+1) - sqrt(x)
endfunction

\end{verbatim}
\item Mettre dans une matrice $U$ colonne ou ligne les résultats de $u_0$, $u_1$, $\ldots$, $u_{50}$. 
\begin{verbatim}
U = zeros(1,51)
U(1) = 2
U(2) = 3
for k = 1:49
    U(k+2) = U(k+1) + f(U(k))
end
\end{verbatim}
\item Représenter les 50 premiers éléments de la suite sur un graphique (On prendra en abscisse les entiers de 0 à 50). 
\begin{verbatim}
X = 0:50
plot2d(X,U)
\end{verbatim}
\end{enumerate}




\end{document}